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卷一

《卷一》作者:张苍

○方田(以御田畴界域) 今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。

又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。

〔图:从十四,广十二。〕 方田术曰:广从步数相乘得积步。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义 同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名 责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之 本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存 善去非,略为料简,遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一 亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而 截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方, 凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。

二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕 今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。

又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。

里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。

〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即 得亩数也。〕 今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。

又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。

○约分 〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。

设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则 异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕 术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损, 求其等也。以等数约之。

〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕 今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。

又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三 分之五十。

又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得 二、六十分之四十三。

○合分 〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细 既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕 术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。

〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊, 然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐, 势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通 体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错 综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同 以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者,以法命之。

〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得 知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕 其母同者,直相从之。

今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。

又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。

○减分 〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰 减分。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。

〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者, 同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕 今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六 多,多二百分之三。

又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三 分之二。

又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八 多,多一千五十分之四十三。

○课分 〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。

〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意 与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕 今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减 四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。

又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减 三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。

○平分 〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平 分也。〕 术曰:母互乘子, 〔齐其子也。〕 副并为平实。

〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知, 限为平。〕 母相乘为法。

〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。

淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三 重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕 以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。

今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之 四。

又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰: 人得二钱八分钱之一。

○经分 〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以 人数分所分,故曰经分也。〕 术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。

〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。

乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知, 自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令 两分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。

〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内 子,又令分母互乘上下。〕 今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十 二。

又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。

又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。

○乘分 〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕 术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。

〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃 为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各 当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十 匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤 之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五 匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十 二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者, 犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求 齐而已。又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,则为一匹直金五分斤之 三。七人卖四马,一人卖七分马之四。金与人 互相生。所从言之异,而计数则 三术同归也。〕 今有田广三步三分步之一,从五步五分步之二,问为田几何?答曰:十八步。

又有田广七步四分步之三,从十五步九分步之五,问为田几何?答曰:一百 二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五,从二十三步十一分步之六,问为田几何?答曰: 一亩二百步十一分步之七。

○大广田 〔淳风等按:大广田知,初术直有全步而无余分;次术空有余分而无全步; 此术先见全步,复有余分,可以广兼三术,故曰大广。〕 术曰:分母各乘其全,分子从之, 〔分母各乘其全,分子从之者,通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕 相乘为实。分母相乘为法。

〔犹乘分也。〕 实如法而一。

〔今为术广从俱有分,当各自通其分。命母入者,还须出之,故令分母相乘 为法而连除之。〕 今有圭田广十二步,正从二十一步,问为田几何?答曰:一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?答曰:二十 三步六分步之五。

术曰:半广以乘正从。

〔半广知,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半广乘从,以取中 平之数,故广从相乘为积步。亩法除之,即得也。〕 今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。问为田几何? 答曰:九亩一百四十四步。

又有邪田,正广六十五步,一畔从一百步,一畔从七十二步。问为田几何? 答曰:二十三亩七十步。

术曰:并两斜而半之,以乘正从若广。又可半正从若广,以乘并。亩法而一。

〔并而半之者,以盈补虚也。〕 今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从三十步,问为田几何?答曰:一亩 一百三十五步。

又有箕田,舌广一百一十七步,踵广五十步,正从一百三十五步,问为田几 何?答曰:四十六亩二百三十二步半。

术曰:并踵、舌而半之,以乘正从。亩法而一。

〔中分箕田则为两邪田,故其术相似。又可并踵、舌,半正从,以乘之。〕 今有圆田,周三十步,径十步。

〔淳风等按:术意以周三径一为率,周三十步,合径十步。今依密率,合径 九步十一分步之六。〕 问为田几何?答曰:七十五步。

〔此于徽术,当为田七十一步一百五十七分步之一百三。

淳风等按:依密率,为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。

〔淳风等按:周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一。依密率, 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:十一亩九十步十二分步之一。

〔此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。

淳风等按:依密率,当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 术曰:半周半径相乘得积步。

〔按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容 六觚之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一而外周率三也。

又按:为图,以六觚之一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂。若又割之, 次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥 少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,又有余径。

以面乘余径,则幂出觚表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径, 则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

此一周、径,谓至然之数,非周三径一之率也。周三者,从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉,乃弓之与弦也。然世传此法,莫肯核;学者踵古, 其谬失。

不有明据,辩之斯难。凡物类形象,不圆则方。方圆之率,诚著于近,则虽远可 知也。由此言之,其用博矣。谨按图验,更造密率。恐空设法,数昧而难譬,故 置诸检括,谨详其记注焉。

割六觚以为十二觚术曰:置圆径二尺,半之为一尺,即圆里觚之面也。令 半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股。以句幂二十五寸减弦幂,余七十五寸, 开方除之,下至秒、忽。又一退法,求其微数。微数无名知以为分子,以十为分 母,约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径,余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之。

开方除之,即十二觚之一面也。

割十二觚以为二十四觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之, 即句幂也。以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分 弃之。开方除之,即二十四觚之一面也。

割二十四觚以为四十八觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即 句幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之。

开方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,余分弃之,即四十八觚之一面。以半径一 尺乘之,又以二十四乘之,得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除 之,得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之幂也。

割四十八觚以为九十六觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置次 上弦幂,四而一,得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽,余分弃之,即句 幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。

以减半径,余二厘一毫四秒一忽十分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小股。

为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽,余分弃之。开方除 之,得小弦六分五厘四毫三秒八忽,余分弃之,即九十六觚之一面。以半径一尺 乘之,又以四十八乘之,得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽,以百亿除之, 得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之幂也。以九十六 觚之幂减之,余六百二十五分寸之一百五,谓之差幂。倍之,为分寸之二百一十, 即九十六觚之外弧田九十六所,谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂, 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,则出圆之表矣。故还就一百九十 二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂,倍之, 得六尺二寸八分,即周数。令径自乘为方幂四百寸,与圆幂相折,圆幂得一百五 十七为率,方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。

案:弧田图令方中容圆,圆中容方,内方合外方之半。然则圆幂一百五十七,其 中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五 十,则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛,其铭曰:律 嘉量斛,内方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一百六十二寸,深一尺,积一千六 百二十寸,容十斗。以此术求之,得幂一百六十一寸有奇,其数相近矣。此术微 少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息,当取此 分寸之三十六,以增于一百九十二觚之幂,以为圆幂,三百一十四寸二十五分寸 之四。置径自乘之方幂四百寸,令与圆幂通相约,圆幂三千九百二十七,方幂得 五千,是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七;圆幂三千九百二十七中容方 幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四,倍之,得六尺 二寸八分二十五分分之八,即周数也。全径二尺与周数通相约,径得一千二百五 十,周得三千九百二十七,即其相与之率。若此者,盖尽其纤微矣。举而用之, 上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之幂,而裁其微分, 数亦宜然,重其验耳。

淳风等案:旧术求圆,皆以周三径一为率。若用之求圆周之数,则周少径多。

用之求其六觚之田,乃与此率合会耳。何则?假令六觚之田,觚间各一尺为面, 自然从角至角,其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓, 今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚,枚别三面,皆长一尺。攒此六物,悉使 锐头向里,则成六觚之周,角径亦皆一尺。更从觚角外畔,围绕为规,则六觚之 径尽达规矣。当面径短,不至外规。若以径言之,则为规六尺,径二尺,面径皆 一尺。面径股不至外畔,定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。

径一周三,理非密。盖术从简要,举大纲,略而言之。刘徽特以为疏,遂改张 其率。但周、径相乘,数难契合。徽虽出斯二法,终不能究其纤毫也。祖冲之以 其不,就中更推其数。今者修撰,捃摭诸家,考其是非,冲之为密。故显之于 徽术之下,冀学者知所裁焉。〕 又术曰:周、径相乘,四而一。

〔此周与上觚同耳。周、径相乘,各当一半。而今周、径两全,故两母相乘 为四,以报除之。于徽术,以五十乘周,一百五十七而一,即径也。以一百五十 七乘径,五十而一,即周也。新术径率犹当微少。据周以求径,则失之长;据径 以求周,则失之短。诸据见径以求幂者,皆失之于微少;据周以求幂者,皆失之 于微多。

淳风等按:依密率,以七乘周,二十二而一,即径;以二十二乘径,七而一, 即周。依术求之,即得。〕 又术曰:径自相乘,三之,四而一。

〔按:圆径自乘为外方,三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。因而三之,即亦居外方四分之三也。

是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆,失之于微少。于徽新术,当径自乘,又以一 百五十七乘之,二百而一。

淳风等按:密率,令径自乘,以十一乘之,十四而一,即圆幂也。〕 又术曰:周自相乘,十二而一。

〔六觚之周,其于圆径,三与一也。故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一,即十二觚之幂也。今此令周自 乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周,十二而一可也。于徽新术,直令圆周自 乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,周幂也;三 百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘,得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之,得此率。

淳风等按:方面自乘即得其积。圆周求其幂,假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法,半周及半径以相乘。今乃用全周自乘,故须以十二为母。何 者?据全周而求半周,则须以二为法。就全周而求半径,复假六以除之。是二、 六相乘,除周自乘之数。依密率,以七乘之,八十八而一。〕 今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?答曰:一百二十步。

又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?答曰:五亩六十二步 四分步之一。

术曰:以径乘周,四而一。

〔此术不验,故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺,高四尺。四尺为股, 下方之半三尺为句。正面邪为弦,弦五尺也。令句弦相乘,四因之,得六十尺, 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥,圆锥见幂与方锥见幂,其率犹方幂之与 圆幂也。按:方锥下六尺,则方周二十四尺。以五尺乘而半之,则亦锥之见幂。

故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹,而与圆锥 同术,则幂失之于少矣。然其术难用,故略举大较,施之大广田也。求圆锥之幂, 犹求圆田之幂也。今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备,可以验此。〕 今有弧田,弦二十步,矢十五步。问为田几何?答曰:一亩九十七步半。

又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?答 曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。

〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方合外方之半, 则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。青、黄相连为弧体,弧体法 当应规。今觚面不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚 之幂,亦失之于少也,与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者,益复疏阔。

宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧 可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。

以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。以减半径,其余即小弦之矢也。割 之又割,使至极细。但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。然于算数差繁,必欲 有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。〕 今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。

〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。据中、外周,以徽术言之, 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

淳风等按:依密率,合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何?答曰:二亩五十五步。

〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

淳风等按:依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。

〔此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。〕 又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十 二步三分步之二。

〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。若据上周求径者,此径失之于 多,过周三径一之率,盖为疏矣。于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。

淳风等按:依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。依密率,合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:四亩一百五十六步四分步之一。

〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

淳风等按:密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰:置中、外周步数,分母子各居其下。母互乘子,通全步内分子。以中 周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余,积步之分。以亩法除之,即亩数也。

〔按:此术,并中、外周步数于上,分母子于下,母互乘子者,为中外周俱 有余分,故以互乘齐其子,母相乘同其母。子齐母同,故通全步,内分子。半之 知,以盈补虚,得中平之周。周则为从,径则为广,故广从相乘而得其积。既合 分母,还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之,即得积步。不尽,以等数 除之而命分。以亩法除积步,得亩数也。〕

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