第6章 论主体的第三类客体以及充足根据律在这类客体中起支配作用(2)

在论证 中，我们得到了该命题真理性的认识根据。但是谁会把对几何真理性的信任建立在这种证明上呢？难道我们不是把我们的信任建立在直观认识的存在根据上？依照存 在根据（作为一种不必再行论证的必然性只承认通过直观提供的证据），从另一条线段的两个端点以相同的斜度画两条射线使之相交，其交点到线段两端的距离必然 相等；因为这样产生的两个角实际上不过是一个，只是由于位置相对才显出是两个；因此没有根据说两条线会在靠一个终端近而靠另一个终端远的位置上相交。

正 是对存在根据的认识向我们揭示了从其条件中而产生的被限定性条件的必然推论——在这个例子中，从等角中得出等边——即表明了它们的联系；而认识根据只表明 它们的共存。而且我们甚至还主张，通常的证明方法只能在作为一个例子所给予我们的一个实际图形中使我们相倍它们的共存，而不是无论如何总是共存的；因为， 由于没有表明这种必然联系，我们对于这种真理性所得到的信任就只能依赖于归纳法，依赖于这样一个事实：我们发现它在我们所划的每一个图形中都是如此。存在 根据并不是在任何情况下，都像在欧几里德第六定理这样一个简单的定理中一样显而易见，但我仍然相信在每一定理中都可使之明白易见，无论它多么复杂，命题总 能还原到某一这种简单的直观。另外，我们先天地意识到空间的每一关系的这种存在根据的必然性，同我们先天地意识到每一变化之原因的必然性是完全一致的。当 然，在复杂的定理中，要揭示存在根据是很难的，但这种研究不是对几何学研究而言的。因此，为使我所说的意义显得更明白，我现在将要把一个具有适当难度的命 题之存在根据找出来，这个命题的根据不是十分明显的。作为一个不十分直接的定理，我以定理十六为例：

“在任何一个三角形中，延长一边，所成外角大于其他两个内角中的任何一个。”

欧几里德的证明如下：——

“假 设abc是一个三角形；延长bc边到d，那么，外角acd 将大于任何一个与之相对的内角bac或cba。作ac边中点e，连接be并延长至f，使ef＝eb，连接fc。延长ac到g。由于 ae＝ec，be＝ef；两边ae，eb分别等于两边ce、ef；Eaeb＝Ecef（对顶角相等）；因此底边ab＝底边cf，Faeb全等于Fcef。 全等三角形中等边所对应的其余两角分别对应相等；因此，Ebae＝Eecf。但Eecd＞Eecf，因此，Eacd＞Ebac。”

“同样，假如bc边等分为二，ac边延长到g，可以证明Ebcg，即对顶角acd＞Eabc。”

我对于这一命题的证明如下：——

若要Ebac等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba对于ca

就要与bd一样在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须要与bd平行；就是说，ba和bd必须永不相交；但是，要形成一个三角形，就必须让它们相交（存在根据），因而必定跟我们要证明的Ebac＝Eacd所要求的条件相反。

若 要Eabc等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba必须要对于bd与ac处在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须与ac平行，就是 说，ba和ac必须永不相交；但要形成三角形，ba和ac必须相交，这样就必定跟我们要证明的Eabc＝Eacd所要求的条件相反。

我作 了以上说明，并非有意提出一个数学论证的新方案，也不是要用我的证明取代欧几里德的证明，因为这一证明的本质并不适合于此，而且事实上它事先假定了平行线 的概念，平行线的概念在欧几里德那里出现得较晚。我只是希望表明存在根据是什么，因而说明它与认识根据的不同，认识根据只产生确证，这与认识存在根据是完 全不同的一件事。几何的唯一目的在于产生确证，正如我所说，在这种情况中，会给人留下一种不适感，丝毫无助于认识存在的根据——这种认识同一切认识一样， 是令人满意愉悦的——这一事实，或许是其他方面的杰出人物之所以如此讨厌数学的原因之一。

我不禁又要给出图，虽然它已在别的地方出现过：因为毋庸语言而只靠视觉，对于毕达哥拉斯定理的真理性所传达的说服力就要比欧几里德的陷井式论证（反证法）强出十倍。

对本章有特别兴趣的读者在我的代表作《作为意志和表象的世界》第一卷第15节和第二卷第13章中，可以找到更详尽的论述。